Exercise 1.4, Unit-1, SETS, Mathematics 7, Punjab Curriculum and Textbook Board

EXERCISE 1.4 

1. If A= {a, e, i, o, u}, B = {a, b, c} and C = {a, c, e, g}, then verify that:

(i) A ⋂ B = B ⋂ A     (ii) A U B = B U A    (iii) B U C = C U B 

(iv) B⋂ C = C ⋂ B   (v) A ⋂ C = C ⋂ A   (vi) A U C = C U A 

(i) A ⋂ B = B ⋂ A

Solution: 

A = {a, e, i, o, u}, B = {a, b, c} 

L.H.S    = A ⋂ B  

             = {a, e, i, o, u} ⋂ {a, b, c}

             = { a }  

and 

R.H.S   = B ⋂ A

             = {a, b, c} ⋂ {a, e, i, o, u}

             = { a } 

It is Verified that

L.H.S   = R.H.S

A ⋂ B   = B ⋂ A

(ii) A U B = B U A 

Solution: 

A = {a, e, i, o, u}, B = {a, b, c} 

L.H.S    = A U B

             = {a, e, i, o, u} U {a, b, c}

             = { a, b, c, e, i, o, u } 

and 

R.H.S    = B U A

             = {a, b, c} U {a, e, i, o, u}

             = {  a, b, c, e, i, o, u } 

Hence Verified that 

L.H.S    =   R.H.S

A U B    =   B U A

(iii) B ⋂ C = C ⋂ B 

Solution: 

B = {a, b, c} and C = {a, c, e, g}

L.H.S    = B ⋂ C

             = {a, b, c} ⋂ {a, c, e, g}

             = { a, c } 

and 

R.H.S    = C ⋂ B

             = {a, c, e, g} ⋂ {a, b, c}

             = { a, c } 

It is Verified that 

L.H.S    =   R.H.S

A ⋂ B    =   B ⋂ A

(iv) B U C = C U B 

Solution: 

B = {a, b, c} and C = {a, c, e, g}

L.H.S    = B U C

             = {a, b, c} U {a, c, e, g}

             = { a, b, c, e, g }

and 

R.H.S    = C U B 

              = {a, c, e, g} U {a, b, c}

              = { a, b, c, e, g }

Hence Proved: 

L.H.S    =   R.H.S

A U B    =   B U A

(v) A ⋂ C = C ⋂ A

Solution: 

A = {a, e, i, o, u} and C = {a, c, e, g}

L.H.S    = A ⋂ C

              = {a, e, i, o, u} ⋂ {a, c, e, g}

              = { a, e }  

and 

R.H.S    = C ⋂ A 

              = {a, c, e, g} ⋂ {a, e, i, o, u}

              = { a, e } 

It is Verified that 

L.H.S    =   R.H.S

A U C    =   C U A

(v) A U C = C U A

Solution: 

A = {a, e, i, o, u} and C = {a, c, e, g}

L.H.S    = A U C

             = {a, e, i, o, u} U {a, c, e, g}

             = { a, e } 

and 

R.H.S    = C U A

              = {a, c, e, g} U {a, e, i, o, u}

              = { a, e }

It is Verified that 

L.H.S    =   R.H.S

A U C    =   C U A

2. If X = {1, 3, 7}, Y= {2, 3, 5} and Z = {1, 4, 8}, then verify that: (i) X ⋂ (Y ⋂ Z) = (X ⋂ Y) ⋂ Z 

(ii) X U (Y U Z) = (X U Y) U Z 

(i) X ⋂ (Y ⋂ Z) = (X ⋂ Y) ⋂ Z

Solution: 

X = {1, 3, 7},  Y= {2, 3, 5}, Z = {1, 4, 8} 

L.H.S     = X ⋂ ( Y ⋂ Z )

              = {1, 3, 7} ⋂ ({2, 3, 5} ⋂ {1, 4, 8})

              = {1, 3, 7} ⋂ {  }  

              = {  }  

and 

R.H.S    = ( X ⋂ Y ) ⋂ Z

              = ({1, 3, 7} ⋂ {2, 3, 5}) ⋂ {1, 4, 8}

              = { 3 } ⋂ {1, 4, 8}  

              = {  } 

Hence Proved that 

L.H.S             =           R.H.S

X ⋂ ( Y ⋂ Z ) = ( X ⋂ Y ) ⋂ Z

(ii) X U (Y U Z) = (X U Y) U Z

Solution: 

X = {1, 3, 7},  Y= {2, 3, 5}, Z = {1, 4, 8} 

L.H.S     = X U ( Y U Z )

              = {1, 3, 7} U ({2, 3, 5} U {1, 4, 8})

              = {1, 3, 7} U { 1, 2, 3, 4, 5, 8 }  

              = { 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8 }

and 

R.H.S     = ( X U Y ) U Z 

              = ({1, 3, 7} U {2, 3, 5}) U {1, 4, 8}

              = { 1, 2, 3, 5, 7 } U {1, 4, 8}  

              = { 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8 }

By Comparing it is verified 

L.H.S    =   R.H.S

X U ( Y U Z ) = ( X U Y ) U Z

3. If S = {-2, -1, 0, 1}, T= {-4, -1, 1, 3} and U= {0, ±1, ±2}, then verify that: 

(i) S ⋂ (T ⋂ U) = (S ⋂ T) ⋂ U (ii) S U (T U U) = (S U T) U U 

(i)  S ⋂ (T ⋂ U) = (S ⋂ T) ⋂ U  

Solution: 

S = {-2, -1, 0, 1},  T= {-4, -1, 1, 3}, U= {0, ±1, ±2}

L.H.S     = S ⋂ ( T ⋂ U )

               = {-2, -1, 0, 1} ⋂ ( {-4, -1, 1, 3} ⋂ {0, ±1, ±2} )

               = {-2, -1, 0, 1} ⋂ { -1, 1 }  

               = { -1, 1 } 

Now

R.H.S     = (S ⋂  T) ⋂ U

               = ( {-2, -1, 0, 1} ⋂  {-4, -1, 1, 3} ) ⋂ {0, ±1, ±2}

 

               = {-1, 1} ⋂ {0, ±1, ±2}  

               = { -1, 1 } 

It is Proved that 

L.H.S    =   R.H.S

S ⋂ ( T ⋂ U ) = (S ⋂  T) ⋂ U

(ii) S U (T U U) = (S U T) U U

Solution: 

S = {-2, -1, 0, 1},  T= {-4, -1, 1, 3}, U= {0, ±1, ±2}

L.H.S     = S U ( T U U )

              = {-2, -1, 0, 1} U ( {-4, -1, 1, 3} U {0, ±1, ±2} )

              = {-2, -1, 0, 1} U { -4, -2, -1, 0, 2, 1, 3 }  

              = { -4, -2, -1, 0, 2, 1, 3  }

Now

R.H.S     = (S U T) U U 

               = ( {-2, -1, 0, 1} U  {-4, -1, 1, 3} ) U {0, ±1, ±2} 

               = { -4, -2, -1, 0, 1, 3 } U {0, ±1, ±2}  

               = { -4, -2, -1, 0, 2, 1, 3 }

It is Verified that 

L.H.S    =   R.H.S

S U ( T U U ) = (S U T) U U

4. If O = {1, 3, 5, 7.....}, E = {2, 4, 6, 8......} and N = {1, 2, 3, 4....}, then verify that: 

(i) O ⋂ (E ⋂ N) = (O ⋂ E) ⋂ N 

(ii) O U (E U N) = (O U E) U N

(i)  O ⋂ (E ⋂ N) = (O ⋂ E) ⋂ N 

Solution: 

O = {1, 3, 5, 7.....},  E = {2, 4, 6, 8......}, N = {1, 2, 3, 4....}

L.H.S     = O ⋂ ( E ⋂ N )

              = {1, 3, 5, 7.....} ⋂ ( {2, 4, 6, 8......} ⋂ {1, 2, 3, 4....} )

              = {1, 3, 5, 7.....} ⋂ { 2, 4, 6, 8...... }  

              = {     }  

Now

R.H.S     = (O ⋂  E) ⋂ N 

               = ( {1, 3, 5, 7.....} ⋂  {2, 4, 6, 8......}  ) ⋂ {1, 2, 3, 4....}

               = {    }  ⋂ {1, 2, 3, 4....}  

               = {    } 

Hence Verified that 

L.H.S    =   R.H.S

O ⋂ ( E ⋂ N ) = (O ⋂  E) ⋂ N

(ii) S U (T U U) = (S U T) U U

Solution: 

O = {1, 3, 5, 7.....},  E = {2, 4, 6, 8......}, N = {1, 2, 3, 4....}

L.H.S     = O U ( E U N )

               = {1, 3, 5, 7.....} U ( {2, 4, 6, 8......} U {1, 2, 3, 4....} )

               = {1, 3, 5, 7.....} U { 1, 2, 3, 4, ...... }  

               = { 1, 2, 3, 4..... }

Now

R.H.S     = (O U E) U N 

               = ( {1, 3, 5, 7.....} U  {2, 4, 6, 8......}  ) U {1, 2, 3, 4....}

               = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.....   }  U {1, 2, 3, 4....}  

               = { 1, 2, 3, 4..... }

By Comparing, it is Verified that 

L.H.S    =   R.H.S 

O U ( E U N ) = (O U E) U N

5. If U = {a, b, c, ....,z}, S = {a, e, i, o, u} and T = {x, y, z}, then verify that: 

(i) S U ∅ = S (ii) T ⋂ U = T (iii) S ⋂ S' = ∅ (iv) T U T' = U 

(i) S U ∅ = S

Solution: 

S = {a, e, i, o, u} and ∅ = {   }

L.H.S    = S U ∅

             = { a, e, i, o, u } U {   }

             = { a, e, i, o, u } 

             = S = R.H.S

It is Verified that 

L.H.S    =   R.H.S 

S U ∅    =   S

(ii) T ⋂ U = T

Solution: 

T = {x, y, z} and U = {a, b, c, ....,z}

L.H.S    = T ⋂ U

             = {x, y, z} ⋂ { a, b, c, ....,z }

             = { x, y, z } 

             = T  = R.H.S

It is Verified that 

L.H.S    =   R.H.S 

T ⋂ U    =   T

(iii) S ⋂ S' = ∅

S = {a, e, i, o, u}, U = {a, b, c, ....,z}

First we have to fine S'

S' = U - S = {a, b, c, ....,z} / {a, e, i, o, u}

    = { b, c, d, f, g, h, j, k, l , m, n, p, q, r, s t, v, w, x, y, z}

L.H.S    = S ⋂ S'

             = { a, e, i, o, u }⋂{b,c,d,f,g,h,j,k,l,m,n,p,q,r,st,v,w,x,y,z}

             = {   } 

             = ∅ = R.H.S

It is Verified that 

L.H.S    =   R.H.S 

S ⋂ S'    =   ∅

(iv) T U T' = U 

T = {x, y, z}, U = {a, b, c, ....,z}

First we have to fine T'

T' = U - S = {a, b, c, ....,z} / {x, y, z}

    = { a, b, c, d, ....... w }

L.H.S    = T U T'

             = { x, y, z } U { a, b, c, d, ....... w }

             = { a, b, c, ....,z } 

             = U = R.H.S

It is Verified that 

L.H.S    =   R.H.S 

T ⋂ T'    =   U

6. If A = {1, 7, 9, 11}, B = {1, 5, 9, 13}, and C = {2, 6, 9, 11}, then verify that: 

(i) A - B ≠ B - A (ii) A - C ≠ C - A 

(i) A - B ≠ B - A

Solution: 

A = {1, 7, 9, 11} and B = {1, 5, 9, 13}

L.H.S    = A - B

             = {1, 7, 9, 11} - {1, 5, 9, 13}

             = { 7, 11 } 

and 

R.H.S    = B - A

              = {1, 5, 9, 13} - {1, 7, 9, 11}

              = { 5, 13 } ≠  L.H.S

It is Verified that 

L.H.S    ≠   R.H.S

A - B     ≠   B - A

(i) A - C ≠ C - A

Solution: 

A = {1, 7, 9, 11} and C = {2, 6, 9, 11}

L.H.S    = A - C

             = {1, 7, 9, 11} - {2, 6, 9, 11}

             = { 1, 7 } 

and 

R.H.S    = B - A

              = {2, 6, 9, 11} - {1, 7, 9, 11}

              = { 2, 6 } ≠  L.H.S

It is Verified that 

L.H.S    ≠   R.H.S

A - C     ≠   C - A

7. If U = {0, 1, 2,....,15}, L = {5, 7, 9,....,15}, and M = {6, 8, 10, 12, 14}, then verify the identity properties with respect to union and intersection of sets.

ize: large;">

Answer: 

(1) Identity Property with respect to Union for Set  A is A U ∅ = A (General Form)

 

Solution: 

(i) Identity Property with respect to Union for Set L = {5, 7, 9,....,15} is  L U ∅ = L

L.H.S    = L U ∅

             = {5, 7, 9,....,15} U {    }

             = {5, 7, 9,....,15} = L = R.H.S

Hence It is Verified that 

L.H.S    =   R.H.S

L U ∅     =     L

(ii) Identity Property with respect to Union for Set M = {6, 8, 10, 12, 14} is  M U ∅ = M

L.H.S    = M U ∅

             = {6, 8, 10, 12, 14} U {    }

             = {6, 8, 10, 12, 14} = L = R.H.S

Hence It is Verified that 

L.H.S    =   R.H.S

M U ∅     =     M

(2) Identity Property with respect to Intersection for Set  A is A ⋂ U = A (General Form)

Solution: 

(i) Identity Property with respect to Intersection with respect to Set L = {5, 7, 9,....,15} is L ⋂ U = L, 

U = {0, 1, 2,....,15}

L.H.S    = L ⋂ U

             = {5, 7, 9,....,15} ⋂ { 0, 1, 2,....,15 }

             = {5, 7, 9,....,15} = L = R.H.S

Hence It is Verified that 

L.H.S    =   R.H.S

L ⋂ U     =     L

(ii) Identity Property with respect to Intersection with respect to Set M = {6, 8, 10, 12, 14} is  M ⋂ U = M

L.H.S    = M ⋂ U

             = {6, 8, 10, 12, 14} ⋂ { 0, 1, 2,....,15  }

             = {6, 8, 10, 12, 14} = L = R.H.S

Hence It is Verified that 

L.H.S    =   R.H.S

M ⋂ U  =     M

************************

Job & Exam Mathematics Rare (JEMrare)

************************

***************************************************************

Shortcut links for:

1. Real Life Word Problems on Financial Mathematics, Property Tax, General Sale Tax (GST), Zakat, Ushr, Profit and Loss, Markup, Percentage, Proportion.

2. 5th class Notes: English, Social Study (S.St.), General Science (G.Sc.), Urdu (اُردو), Islamiat (اسلامیات), Mathematics

************************************

1. Website for School and College Level Physics   

(https://askrarequiz.blogspot.com)

2. Website for School and College Level Mathematics  

(https://askraremaths.blogspot.com)

3. Website for Single National Curriculum Pakistan - All Subjects Notes 

(https://askrareclassnotes.blogspot.com/)

© 2022-23  Academic Skills and Knowledge (ASK)     

Note:  Write me in the comments box below for any query and also Share this information with your class-fellows and friends.